已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的焦距为2$\sqrt{3}$.且椭圆C过点A(1.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$).(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)若O是坐标原点.不经过原点的直线l:y=kx+m与椭圆交于两不同点P(x1.y1).Q(x2.y2).且y1y2=k2x1x2.求直线l的斜率k,的条件下.求△OPQ面积� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且椭圆C过点A（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且y₁y₂=k²x₁x₂，求直线l的斜率k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OPQ面积的最大值．

分析（Ⅰ）由椭圆的焦距为2$\sqrt{3}$，且椭圆C过点A（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的斜率．
（Ⅲ）把直线方程$y=\frac{1}{2}x+m$与椭圆方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立，得：2x²+8mx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出△OPQ面积的最大值．

解答解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且椭圆C过点A（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
∴由题意得$c=\sqrt{3}$，可设椭圆方程为$\frac{x^2}{{{b^2}+3}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
则$\frac{1}{{{b^2}+3}}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，得b²=1，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$． …（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$，
故${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$．
又∵${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}$，∴$km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，∴$-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$．
∵m≠0，∴${k}^{2}=\frac{1}{4}$，解得k=$±\frac{1}{2}$，
∴直线l的斜率为$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直线l的方程为$y=±\frac{1}{2}x+m$，
由对称性，不妨把直线方程$y=\frac{1}{2}x+m$与椭圆方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立，
消去y得：2x²+8mx+4m²-4=0，
△=64m²-4（4m²-4）＞0，
∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-4m，${x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-2$，
设d为点O到直线l的距离，则d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{|2m|}{\sqrt{5}}$，
∴${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}d|{PQ}|=\frac{1}{2}\frac{{|{2m}|}}{{\sqrt{5}}}\sqrt{\frac{5}{4}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{1}{2}|m|\sqrt{8-4{m^2}}=\sqrt{{m^2}（2-{m^2}）}≤\frac{{{m^2}+2-{m^2}}}{2}=1$．
当且仅当m²=1时，等号成立．
∴△OPQ面积的最大值为1． …（12分）

点评本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	既不充分也不必要		D．	充要条件

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