Question

11．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（2x+$\frac{π}{2}$）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．
（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得m的最小正值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（2x+$\frac{π}{2}$）+1
=cos2xcos$\frac{π}{6}$-sin2xsin$\frac{π}{6}$+cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$）+sin2x+1=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数f（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（2）由题意可得g（x）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）+1 的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$轴对称，故有$\frac{π}{2}$+2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
即m=$\frac{1}{2}$•kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，故m的最小正值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．