Question

6．国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：

运动时间 性别	运动达人	非运动达人	合计
男生	36
女生		26
合计			100

（1）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）计算观测值K²，根据临界值表即可作出结论；
（2）分别计算X=0，1，2，3时的概率，写出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．

解答 解：（1）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生，40人为女生，据此2×2列联表中的数据补充如下．

运动时间 性别	运动达人	非运动达人	合计
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合计	50	50	100

由表中数据得K²的观测值$k=\frac{{100×{{（36×26-24×14）}^2}}}{50×50×60×40}=6＞5.024$，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关．…（6分）
（2）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为$\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$，故X～$B（{3，\;\;\frac{3}{5}}）$，
X可取的值为0，1，2，3，
所以$P（X=0）=C_3^0{（{\frac{2}{5}}）^{3-0}}{（{\frac{3}{5}}）^0}=\frac{8}{125}$，$P（X=1）=C_3^1{（{\frac{2}{5}}）^{3-1}}{（{\frac{3}{5}}）^1}=\frac{36}{125}$，$P（X=2）=C_3^2{（{\frac{2}{5}}）^{3-2}}{（{\frac{3}{5}}）^2}=\frac{54}{125}$，$P（X=3）=C_3^3{（{\frac{2}{5}}）^{3-3}}{（{\frac{3}{5}}）^3}=\frac{27}{125}$．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴$E（X）=3×\frac{3}{5}=\frac{9}{5}$，$D（X）=3×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{18}{25}$．…（12分）

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法问题，是综合性题目．