Question

9．已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2CD=2AD=2，P是以C为圆心，且与BD相切的圆上的动点，设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{AB}$（λ，μ∈R），则λ+μ最大值为（　　）

• A． -1
• B． 2
• C． 1
• D． -2

Answer 1

分析 以A为原点建立坐标系，设P（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ，1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ），把λ+μ表示为关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出λ+μ的最大值．

解答 解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，则B（2，0），D（0，1），C（1，1）．
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AB}$=（2μ，λ）．
设圆C半径为r，BD与圆C切点为E，则sin∠CDE=$\frac{r}{CD}$=r，
又sin∠CDE=sin∠DBA=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴r=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
设P（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ，1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ），则$\overrightarrow{AP}$=（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ，1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2μ=1+\frac{\sqrt{5}}{5}cosθ}\\{λ=1+\frac{\sqrt{5}}{5}sinθ}\end{array}\right.$，∴λ+μ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ+$\frac{\sqrt{5}}{10}$cosθ+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（θ+φ）+$\frac{3}{2}$，
∴当sin（θ+φ）=1时，λ+μ取得最大值2．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，三角函数性质的应用，属于中档题．