Question

已知函数f（x）=

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mx2-4mx+m+3

的定义域为R，判断函数g（x）=x²+2mx+1的零点情况．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：先将函数f（x）=

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mx2-4mx+m+3

的定义域为R转化成mx²-4mx+m+3＞0在R上恒成立，然后讨论m，从而求出m的范围，进而根据根的判别式判断函数g（x）=x²+2mx+1的零点情况．

解答： 解：∵函数f（x）=

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mx2-4mx+m+3

的定义域为R
∴mx²-4mx+m+3＞0在R上恒成立
①当m=0时，符合题意
②

m＞0 △=16m2-4m(m+3)＜0

解得0＜m＜1
∴综上所述0≤m＜1
由函数g（x）=x²+2mx+1可知△=4m²-4
∵0≤m＜1
∴△=4m²-4＜0，
∴函数g（x）=x²+2mx+1无零点．

点评：本题主要考查了恒成立问题，需要讨论二次项系数，同时考查了二次函数零点的判定，属于基础题．