Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）与双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点B是两曲线的一个交点，且BF⊥y轴，若L为双曲线的一条渐近线，则L的倾斜角所在的区间可能是（　　）

• A、（

  π

  6

  ，

  π

  4

  ）
• B、（

  π

  4

  ，

  π

  3

  ）
• C、（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ）
• D、（

  5π

  6

  ，π）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据点B在抛物线上，求得B的坐标表达式，根据点B在双曲线上，表示出点B的坐标表达式，进而可推断出2c=

b2

a

，由a，b，c的关系和离心率公式，求得e，最后通过

a

b

，求得l的斜率的取值，进而得到倾斜角的范围．

解答： 解：点B在抛物线x²=2py上，可设B（p，

p

2

），
点B在双曲线上，即B（

b2

a

，c），
所以有2c=p=

b2

a

，
则有c²-a²=2ac，即有e²-2e-1=0，解得e=1+

2

．
l的斜率±

a

b

=±

a2 b2

=±

a2 2ac

=±

2

2

×

2 -1

，
则l的倾斜角范围为（0，

π

6

），或（

5π

6

，π）．
故选D．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．