Question

已知椭圆C与双曲线x²-y²=2有共同焦点，且经过点P（

6

，1）
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）直线y=x+2与椭圆C交于不同的两点A、B，求弦长AB的长．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出双曲线的焦点，即得椭圆的c=2，设出椭圆的方程，代入P的坐标，解关于a，b的方程，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）直线y=x+2与椭圆方程联立，消去y，解关于x的方程，求得交点A，B，再由两点的距离公式计算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）双曲线x²-y²=2焦点为（±2，0），
则椭圆的c=2，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则4=a²-b²，又

6

a2

+

1

b2

=1，
解得a=2

2

，b=2，
即有椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直线y=x+2与椭圆方程联立，消去y，可得3x²+8x=0，
解得x=0或-

8

3

．
可得A（0，2），B（-

8

3

，-

2

3

），
则|AB|=

(0+ 8 3 )2+(2+ 2 3 )2

=

8

3

2

．

点评：本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题．