Question

已知函数f（x）满足下列条件
①定义域为（-1，1）
②对于任意的x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
③当x＜0时f（x）＞0    
已知该函数为奇函数，若f（-

1

3

）=1，写出方程f（x）+

1

2

=0的一个解．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用赋值法，令x=y=0，可求出f（0）的值；由于f（x）为奇函数，先证f（x）在（0，1）上单调递减，先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．从而推出f（x）在（-1，1）上递减，方程f（x）+

1

2

=0即为2f（x）+1=0，而f（-

1

3

）=1，即为f（

1

3

）=-1，则有2f（x）=f（

1

3

），则f（

2x

1+x2

）=f（

1

3

），再由单调性，解方程即可得到．

解答： 解：令x=y=0则f（0）+f（0）=f（0），则f（0）=0，
由于f（x）为奇函数，先证f（x）在（0，1）上单调递减，
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
则f（x）在（-1，1）上递减，
方程f（x）+

1

2

=0即为2f（x）+1=0，而f（-

1

3

）=1，即为f（

1

3

）=-1，
则有2f（x）=f（

1

3

），则f（

2x

1+x2

）=f（

1

3

），
由于f（x）在（-1，1）上递减，
则

2x

1+x2

=

1

3

，解得x=3-2

2

（3+2

2

舍去）．
故方程f（x）+

1

2

=0的一个解为：3-2

2

．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及单调性的运用：解方程，属于中档题．