Question

11．下列命题错误的是（　　）

• A． 存在正数x₀，当x＞x₀时，2^x＞x³
• B． 存在正数x₀，当x＞x₀时，x＞lnx
• C． ?x＞2，2^x＞x²
• D． ?x＞2，x³＞$\sqrt{x}$

Answer 1

分析 A．作出两个函数的图象，进行判断即可．
B．构造函数，求出函数的导数判断函数的单调性和极值，
C．当x=4时，不等式不成立，
D．求出不等式的等价条件进行判断．

解答 解：A．作出两个函数y=2^x，y=x³的图象，由图象知存在正数x₀=20，当x＞20时，2^x＞x³成立，故A正确，
B．设f（x）=x-lnx，则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值f（1）=1-ln1=1＞0，
即当x＞0时，f（x）＞0恒成立，即x＞lnx恒成立，则存在正数x₀，当x＞x₀时，x＞lnx为真命题，
C．当x=4时，2^x=x²成立，则2^x＞x²不成立，故C错误，
D．当x＞0时，由x³＞$\sqrt{x}$得x⁶＞x，即x⁵＞1，即x＞1，即当x＞2时x³＞$\sqrt{x}$恒成立，故D正确，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及全称命题，特称命题的真假判断，考查学生的推理和判断能力．