Question

6．已知动点M与两点P₁（$\frac{r}{2}$，0），P₂（2r，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，r＞0．
（1）求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）求出0＜r＜$\frac{3}{\sqrt{5}}$，可得得0＜b＜3，求出a的范围，即可求菱形ABCD的面积S的取值范围．

解答 解：（1）设M（x，y），则
∵动点M与两点P₁（$\frac{r}{2}$，0），P₂（2r，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-\frac{r}{2}）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2r）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化简可得x²+y²=r²；
（2）∵直线l与Γ无公共点，∴圆心到直线的距离$\frac{3}{\sqrt{5}}$＞r，∴0＜r＜$\frac{3}{\sqrt{5}}$
设AB=a，直线CD的方程为y=2x+b，则圆心到直线的距离为d=$\frac{|b|}{\sqrt{5}}$＜r，
∴0＜b＜3，
∵$\frac{|b-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴b=3-$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∴0＜a＜$\frac{6}{\sqrt{15}}$，
∴菱形ABCD的面积S=2$•\frac{\sqrt{3}}{4}•{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$∈（0，$\frac{6\sqrt{3}}{5}$）．

点评 本题考查直接法求轨迹方程和直线与圆位置关系的运用，考查直线方程，属于中档题．