题目内容
已知函数f（x）=
sinx+cosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期
（2）求f（x）的最大值及此时x的取值集合；
（3）求f（x）的单调递减区间．
| 3 |
（1）求f（x）的最小正周期
（2）求f（x）的最大值及此时x的取值集合；
（3）求f（x）的单调递减区间．
考点：两角和与差的正弦函数,复合三角函数的单调性
专题：三角函数的求值
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+
），由周期公式可得；
（2）当x+
=2kπ+
时，f（x）取最大值2，易得此时x的集合；
（3）由2kπ+
≤x+
≤2kπ+
解不等式可得单调递减区间．
| π |
| 6 |
（2）当x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（3）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
解答：
解：（1）化简可得f（x）=
sinx+cosx=2sin（x+
），
∴f（x）的最小正周期T=
=2π；
（2）当x+
=2kπ+
，即x=2kπ+
，k∈Z时，
f（x）取最大值2，此时x的取值集合为{x|x=2kπ+
，k∈Z}；
（3）由2kπ+
≤x+
≤2kπ+
可得2kπ+
≤x≤2kπ+
，
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+
，2kπ+
]，（k∈Z）
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 1 |
（2）当x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
f（x）取最大值2，此时x的取值集合为{x|x=2kπ+
| π |
| 3 |
（3）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及设计师的周期性和单调性及最值，属基础题．
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