Question

设f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展开式各项的系数和为P，二项式系数之和为S，P+S=72．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）记g（x）=（2x³-1）f（x），求g（x）展开式中含x 

3

2

的项的系数．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）令x=1，可得f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展开式各项的系数和的值，
（2）由P+S=72求得2ⁿ=8，可得n=3．在f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得k的值，可得展开式的常数项的值．
（3）根据g（x）=（2x³-1）[x

3

2

+9+27x-

3

2

+27x^-3]，求得g（x）的展开式中含x 

3

2

的项的系数．

解答： 解：（1）令x=1，可得f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展开式各项的系数和为P=4ⁿ，
（2）由于二项式系数之和为S=2ⁿ，故由P+S=72可得4ⁿ+2ⁿ=72，求得2ⁿ=8，或2ⁿ=-9（舍去），∴n=3．
故f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 3

•3^r•x

3-3k

2

，
令

3-3k

2

=0，求得k=1，故展开式的常数项为

C

r 3

•3^r=9．
（3）g（x）=（2x³-1）f（x）=（2x³-1）[x

3

2

+9+27x-

3

2

+27x^-3]，
故g（x）的展开式中含x 

3

2

的项的系数为 2×27-1=53．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．