Question

函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（-1）=0，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（0）+f（

1

2

）+f（1）+…+f（

2011

2

）的值是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．

解答： 解：∵对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
 当x=0时，f（0）=0，
 当x≠0时，f（x+1）=

x+1

x

f（x）
∴令x=-

1

2

，即f（

1

2

）=-f（-

1

2

），
又∵函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，
∴f（-

1

2

）=f（

1

2

），
∴f（

1

2

）=0，
令x=

1

2

，则f（

3

2

）=

1 2 +1

1 2

f（

1

2

）=0，所以可得f（

5

2

）=f（

7

2

）=…=f（

2011

2

）=0，
∵f（1）=f（-1）=0，
∵f（x+1）=

x+1

x

f（x）
∴f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
所以f（0）+f（

1

2

）+f（1）+…+f（

2011

2

）=0，
故答案为：0．

点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．