Question

6．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，求$\frac{4}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求$\frac{4}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=$-\frac{a}{b}$，由图象可知当此直线经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6）．
此时z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$=1，
则$\frac{4}{a}$+$\frac{6}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{6}{b}$）（$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$）=$\frac{4}{3}+3+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}$≥$\frac{13}{3}+2\sqrt{\frac{2a}{b}×\frac{2b}{a}}$=$\frac{25}{3}$，
当且仅当a=b时取=号，
所以$\frac{4}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值为：$\frac{25}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．