Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3S_n=a_n+1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}的前n项和为T_n，a₂=b₂，T₄=1+S₃，求$\frac{2{T}_{n}+48}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用a₁=1，且3S_n=a_n+1-1．写出3S_n-1=a_n-1．两式相减得到4a_n=a_n+1，得到数列{a_n}是首项为1，公比为4的等比数列，得到通项公式；
（2）由a₂=b₂，T₄=1+S₃，得到关于b₁=1，d=3，得到数列{b_n}的前n项和为T_n，代入所求利用基本不等式求最小值．

解答 解：（1）∵3S_n=a_n+1-1①
∴当n＞1时，3S_n-1=a_n-1．②，…（1分）
①-②得3（S_n-S_n-1）=3a_n=a_n+1-a_n，则4a_n=a_n+1，…（3分）
又a₂=3a₁+1=4=4a₁，…（4分）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为4的等比数列，
则a_n=4^n-1…（6分）
（2）由（1）得a₂=4，S₃=21…（7分）
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=4}\\{{T}_{4}=2（{b}_{1}+{b}_{4}）=22}\end{array}\right.$，得b₁=1，…（8分）
设数列{b_n}的公差为d，则b₁=1，d=3，…（9分）
∴T_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$
∴$\frac{2{T}_{n}+48}{n}$=$\frac{3{n}^{2}-n+48}{n}=3n+\frac{48}{n}-1$≥2$\sqrt{3×48}$-1=23…（10分）
当且仅当n=4时取等号，…（11分）
∴$\frac{2{T}_{n}+48}{n}$的最小值为23…（12分）

点评 本题考查了数列{a_n}的通项与前n项和为S_n之间的关系求通项公式的方法以及等差数列的前n项和；体现了方程组的思想方法；属于中档题．