Question

11．已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（1），f′（1），代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅲ）由g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，得g′（x），由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤$\frac{2}{x}$-2x²在[1，4]上恒成立．构造函数φ（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，求其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x²+lnx，f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
故f（1）=1，f′（1）=3，
故切线方程是：y-1=3（x-1），
即3x-y-2=0；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
∴极小值是f（1）=1，没有极大值；
（Ⅲ）由g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，得g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
又函数g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$为[1，4]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤$\frac{2}{x}$-2x²在[1，4]上恒成立，
设φ（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，显然ϕ（x）在[1，4]上为减函数，
所以ϕ（x）的最小值为ϕ（4）=-$\frac{63}{2}$，
∴a的取值范围是a≤-$\frac{63}{2}$．

点评 本题考查利用倒数研究函数的单调性，考查闭区间上的恒成立问题，突出转化思想与构造函数的思想的运用，属于难题．