Question

18．若函数f（x）=log₂（a-2^x）+x-1存在零点，则实数a的取值范围是a≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据函数零点与对应方程根之间的关系，我们可将f（x）存在零点转化为方程log₂（a-2^x）=1-x有根，结合对数方程和指数方程的解法，我们可将他转化为一个二次方程根的存在性总是，再根据二次方程根的个数与△的关系及韦达定理，我们易构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．

解答 解：若f（x）存在零点，
则方程log₂（a-2^x）=1-x有根
即2^1-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
则原方程等价于$\frac{2}{t}$=a-t有正根
即t²-at+2=0有正根，
根据根与系数的关系t₁t₂=2＞0，
即若方程有正根，必有两正根，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=a＞0}\\{{a}^{2}-8≥0}\end{array}\right.$，∴a≥2$\sqrt{2}$．
故答案为：$a≥2\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中根据指数方程和对数方程的解法，将函数对应的方程转化为一个二次方程是解答的关键．