Question

分别过椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦点F₁、F₂的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，且满足k₁+k₂=k₃+k₄，已知当l₁与x轴重合时，|AB|=2

3

，|CD|=

4 3

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2

3

，|CD|=

2b2

a

=

4 3

3

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）焦点F₁、F₂坐标分别为（-1，0），（1，0），当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0），当直线l₁，l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 3 + y2 2 =1 y=m1(x+1)

，得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2

2

．

解答： 解：（1）当l₁与x轴重合时，k₁+k₂=k₃+k₄=0，
即k₃=-k₄，
∴l₂垂直于x轴，得|AB|=2a=2

3

，|CD|=

2b2

a

=

4 3

3

，
解得a=

3

，b=

2

，
∴椭圆E的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）焦点F₁、F₂坐标分别为（-1，0），（1，0），
当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0），
当直线l₁，l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 3 + y2 2 =1 y=m1(x+1)

，
得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，
∴x1+x2=-

6m12

2+3m12

，x1x2=

3m12-6

2+3m12

，
k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=m1(

x1+1

x1

+

x2+1

x2

)=m1(2+

x1+x2

x1x2

)=

-4m1

m12-2

，
同理k₃+k₄=

-4m2

m22-2

，
∵k₁+k₂=k₃+k₄，
∴

-4m1

m12-2

=

-4m2

m22-2

，即（m₁m₂+2）（m₂-m₁）=0，
由题意知m₁≠m₂，
∴m₁m₂+2=0，
设P（x，y），则

y

x+1

•

y

x-1

+2=0，
即

y2

2

+x2=1，x≠±1，
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，
P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，
∴点P（x，y）点在椭圆

y2

2

+x2=1上，
∴存在点M，N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），
使得|PM|+|PN|为定值2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．