Question

已知椭圆C：3x²+y²=12，直线x-y-2=0交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标及长轴长；
（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）把椭圆C的方程化为标准方程，能求出椭圆C的焦点坐标和长轴长．
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，求出点A（2，0），B（-1，-3），由此推导出以线段AB为直径的圆的圆心坐标和半径，由此能求出以线段AB为直径的圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：3x²+y²=12，
∴

x2

4

+

y2

12

=1，
由方程可知：a²=12，b²=4，c²=a²-b²=8，c=2

2

．…（3分）
∴椭圆C的焦点坐标为(0，2

2

)，(0，-2

2

)，
长轴长2a为4

3

．…（5分）
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，
得：x²-x-2=0．
解得：x=2或x=-1．
∴点A，B的坐标分别为（2，0），（-1，-3）．…（7分）
∴A，B中点坐标为(

1

2

，-

3

2

)，
∴|AB|=

(2+1)2+(0+3)2

=3

2

．…（9分）
∴以线段AB为直径的圆的圆心坐标为(

1

2

，-

3

2

)，半径为

3 2

2

．
∴以线段AB为直径的圆的方程为(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=

9

2

．…（11分）

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．