Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上一动点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意知，2a=4，e=

2

2

由此可求出椭圆C的方程．
（2）点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），由题设条件能推出3x₁-4y₁=-5x₀．再由点P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1上，能够推出3x₁-4y₁的取值范围．

解答： 解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2．
∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

，b=

a2-c2

=

2

，
∴所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵点P（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

解得：x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4y0

5

．
∴3x₁-4y₁=-5x₀．
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴-2≤x₀≤2，则-10≤-5x₀≤10．
∴3x₁-4y₁的取值范围为[-10，10]．

点评：本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．