Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（

x

y

）=f（x）-f（y），若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由条件推出f（x）在（0，+∞）上递增，令x=y=1得，求出f（1），由f（4）=2，求出
f（16），再由函数的单调性即可得到f（x）在[1，16]上的值域．

解答： 解：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0，且f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴f（

x2

x1

）＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
令x=y=1得，f（1）=f（1）-f（1）=0，
∵f（4）=2，∴f（4）=f（

16

4

）=f（16）-f（4），即f（16）=2f（4）=4．
∴f（x）在[1，16]上的最小值为0，最大值为4，
∴f（x）在[1，16]上的值域为[0，4]．

点评：本题考查抽象函数的性质和运用，考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的方法：赋值法，属于中档题．