题目内容
已知
=（2cosx，1），
=（cosx，
sin2x），且f（x）=
•
，
（1）求f（x）在x∈[-
，
]的最大值；
（2）若f（x）=1-
，x∈[-
，
]，求x；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象经过怎样的变换得出？
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求f（x）在x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）若f（x）=1-
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象经过怎样的变换得出？
考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=
•
=2sin(2x+
)+1，由x∈[-
，
]，可得(2x+
)∈[-
，
].sin(2x+
)∈[-1，1]．即可得出f（x）取得最大值．
（2）由（1）可得：2sin(2x+
)+1=1-
，化为sin(2x+
)=-
，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（3）由函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位可得y=2sin(2x+
)的图象，在向上平移一个单位可得：f（x）=2sin(2x+
)+1图象．
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）可得：2sin(2x+
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
（3）由函数y=2sin2x的图象向左平移
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（1）f（x）=
•
=2cos2x+
sin2x=cos2x+1+
sin2x=2sin(2x+
)+1，
∵x∈[-
，
]，
∴(2x+
)∈[-
，
]．
∴sin(2x+
)∈[-1，1]．
∴当2x+
=
，即x=
时，sin(2x+
)取得最大值1，f（x）取得最大值3．
（2）由（1）可得：2sin(2x+
)+1=1-
，
解得sin(2x+
)=-
，
又(2x+
)∈[-
，
]．
∴2x+
=-
，解得x=-
．
（3）由函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位可得y=2sin(2x+
)的图象，在向上平移一个单位可得：f（x）=2sin(2x+
)+1图象．
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
∴sin(2x+
| π |
| 6 |
∴当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）可得：2sin(2x+
| π |
| 6 |
| 3 |
解得sin(2x+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
又(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
（3）由函数y=2sin2x的图象向左平移
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质、三角函数的图象变换，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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