Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为

2

，D、D₁分别为AB、A₁B₁的中点，C1D₁中点为P，DD₁中点为Q．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面ABC₁；
（Ⅱ）求三棱锥Q-ABC₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接C₁D，利用中位线的性质证明出PQ∥C₁D，进而根据线面平行的判定定理证明出PQ∥平面ABC₁．
（Ⅱ）利用等体积法先求得几何体C₁-ABQ，通过求得底面ABQ的面积，最后利用体积公式求得答案．

解答： （Ⅰ）证明：连接C₁D，
∵P，Q分别为C₁D₁，DD₁中点，
∴PQ∥C₁D，
∵PQ?平面ABC₁，C₁D?平面ABC₁，
∴PQ∥平面ABC₁．
（Ⅱ）VQ-ABC1=VC1-ABQ=

1

3

S_△ABQ•C₁D₁，
∵在△A₁B₁C₁中，C₁D₁=

3

2

A₁B₁=

3

，
S_△ABQ=

1

2

AB•DQ=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

，
∴VQ-ABC1=

1

3

×

2

2

×

3

=

6

6

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理的应用，棱柱的体积的计算．考查了学生综合分析的能力和观察能力．