Question

设函数f（x）=

1

3

mx³+（4+m）x²，g（x）=alnx，其中a≠0．
（1）已知点P（1，0）在y=f（x）的图象上，求m的值；
（2）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）由点在图象上，点的坐标适合函数解析式，代入即可求得m的值；
（2）利用导函数的正负性判断原函数的单调性，注意要以m进行讨论．

解答： 解：（1）由题意得f(1)=

1

3

m+(4+m)=0，∴m=-3，
（2）f′（x）=mx²+2（4+m）x，当a=8时，F（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定义域为（0，+∞），
F′(x)=2mx+8+2m+

8

x

=

2mx2+(8+2m)x+8

x

=

2(x+1)(mx+4)

x

，
∵x＞0，∴x+1＞0，
①当m≥0时，F′（x）＞0，此时F（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当m＜0时，由F′（x）＞0，得0＜x＜-

4

m

，由F′（x）＜0得x＞-

4

x

，
此时F（x）在（0，-

4

x

）上单调递增，在(-

4

m

，+∞)上单调递减．
综上得：
当m≥0时，F（x）在（0，+∞）是上单调递增；
当m＜0时，F（x）在（0，-

4

x

）上单调递增，在(-

4

m

，+∞)上单调递减．

点评：本题考查了，导数在函数中的应用，分类讨论思想，化归思想．属于常考题型，注意参数的讨论．