Question

已知函数f（x）=

m-2x+4

x-2

(m≠0)，满足条件f（a+x）+f（a-x）=2b（x≠2），则a+b的值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：首先将函数f（x）化为f（x）=

m

x-2

-2，运用函数y=

m

x

的图象平移得到y=f（x）的图象，从而得到函数f（x）的对称中心为（2，-2），由条件f（a+x）+f（a-x）=2b知函数的对称中心为（a，b），即a=2，b=-2．

解答： 解：函数f（x）=

m-2x+4

x-2

(m≠0)可化为：f（x）=

m

x-2

-2，
函数y=f（x）的图象可看作由函数y=

m

x

的图象先向右平移2个单位，
再向下平移2个单位得到，
∵y=

m

x

的图象关于点（0，0）对称，
∴y=f（x）的图象关于点（2，-2）对称，
∵f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（x≠2），
∴f（x）的图象关于点（a，b）对称，
∴a=2，b=-2，
∴a+b=0，
故答案为：0．

点评：本题主要考查函数的对称性，以及图象的平移变换，注意结论：f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b，则函数关于点（a，b）对称；f（x）满足f（a+x）=f（a-x）=2b，则函数关于直线x=a对称的运用．