Question

20．已知函数f（x）=（x²-1）（x²+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则函数f（x）的值域为[-36，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数的对称性，求出a，b值，得到函数的解析式，结合导数法求出最小值，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=（x²-1）（x²+ax+b）的图象关于直线x=3对称，
∴f（6-x）=f（x），
即[（6-x）²-1][（6-x）²+a（6-x）+b]=（x²-1）（x²+ax+b）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-12\\ b=35\end{array}\right.$，
故f（x）=（x²-1）（x²-12x+35），
则令f′（x）=4（x-3）（x²-6x-1）=0，
解得：x=3或x=3±$\sqrt{10}$．
当x＜3-$\sqrt{10}$，或3＜x＜3+$\sqrt{10}$时，f′（x）＜0函数为减函数．
当3-$\sqrt{10}$x＜3，或x＞3+$\sqrt{10}$时，f′（x）＞0函数为增函数．
∵f（3±$\sqrt{10}$）=-36．
函数f（x）的值域为[-36，+∞）
故答案为：[-36，+∞）．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用导数求函数的最值，难度中档．