Question

12．在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．
（I）求证：AO⊥CD；
（II）求证：平面AOF⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （I）由等边三角形知识得AO⊥BE，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面BCDE，故而AO⊥CD；
（II）连结BD，由菱形性质得出CE⊥BD，又AO⊥平面BCDE，故AO⊥CE，由中位线性质得BD∥EF，故而CE⊥平面AOF，所以平面AOF⊥平面ACE．

解答 证明：（Ⅰ）因为△ABE 为等边三角形，O 为BE 的中点，
所以AO⊥BE．又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AO?平面ABE，
所以AO⊥平面BCDE．又因为CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD．
（Ⅱ）连结BD，因为四边形BCDE 为菱形，
所以CE⊥BD．
因为O，F 分别为BE，DE 的中点，
所以OF∥BD，所以CE⊥OF．
由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．
因为CE?平面BCDE，所以AO⊥CE．
因为AO∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．
又因为CE?平面ACE，
所以平面AOF⊥平面ACE．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．