Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若M是棱PC的中点，求四面体M-PQB的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而CD∥BQ．又QB⊥AD．从而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）证明BC⊥平面PQB，利用三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）解：PA=PD=2，Q是AD的中点，
∴PQ⊥平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
∵DCBQ是矩形，
∴BC⊥QB，
∵PQ∩QB=Q，
∴BC⊥平面PQB，
∴四面体M-PQB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PQ×QB×\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．