Question

9．函数f（x）=-x³+ax²-x-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\sqrt{3}}]∪[{\sqrt{3}，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• C． $[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$
• D． $（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 先求函数的导数，因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．

解答 解：f（x）=-x³+ax²-x-1的导数为f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，
∴△=4a²-12≤0，解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
∴实数a的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．