Question

1．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：被圆M所截的弦长为$\sqrt{3}$，且圆心M在直线l的下方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设圆心M （a，0），则$\frac{|8a-3|}{{\sqrt{{8^2}+{6^2}}}}=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}$，求出a，然后求圆的方程；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．

解答 解：（1）设圆心M （a，0），则$\frac{|8a-3|}{{\sqrt{{8^2}+{6^2}}}}=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}$，即|8a-3|=5（2分）
又∵M在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1
故圆的方程为（x-1）²+y²=1．（4分）
（2）由题设AC的斜率为k₁，BC的斜率为k₂，
则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6
联立得C点的横坐标为x=$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$（6分）
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=$\frac{1}{2}$•|$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$|•6=$\frac{18}{|{k}_{1}-{k}_{2}|}$（8分）
由于圆M与AC相切，所以$\frac{|{k}_{1}+t|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=1，∴k₁=$\frac{1-{t}^{2}}{2t}$，
由于圆M与BC相切，所以$\frac{|{k}_{2}+t+6|}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}$=1，∴${k_2}=\frac{{1-{{（t+6）}^2}}}{2（t+6）}$（10分）
∴${k_1}-{k_2}=\frac{{3（{t^2}+6t+1）}}{t（t+6）}$，
∴$S=\frac{{6（{t^2}+6t）}}{{{t^2}+6t+1}}=6（1-\frac{1}{{{t^2}+6t+1}}）$，（12分）
∵-5≤t≤-2，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴${S_{min}}=6（1+\frac{1}{8}）=\frac{27}{4}$，
∴△ABC的面积S的最大值为$\frac{15}{2}$，最小值为$\frac{27}{4}$．（14分）

点评 本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．