Question

设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=

1

3

x³-2ax与g（x）=x²+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b-a的最大值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的综合应用

分析：由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b-a的表达式，求出最大值．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-2ax，g（x）=x²+2bx，
∴f′（x）=x²-2a，g′（x）=2x+2b；
由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，
∴x²-2a≤0恒成立，即-

2a

≤x≤

2a

；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤

2a

，
即0＜a≤

2a

，解得0＜a≤2；
∴b-a≤

2a

-a=-(

a

-

2

2

)2+

1

2

，当a=

1

2

时，取“=”，
∴b-a的最大值为

1

2

．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，属于中档题．