Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1=2a_n（n∈N^*，n≥2），且a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n，求证T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由数列递推式得到数列为等差数列，然后由已知列方程组求出首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和公式得答案；
（2）把数列的通项公式代入b_n=

1

an2-1

，利用裂项相消法求和，再放缩得答案．

解答： （1）解：由数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1=2a_n，可知数列{a_n}为等差数列，
设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n；
（2）证明：由（1）知a_n=2n+1．
∴b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)．
当n→∞时，

1

n+1

→0．
故T_n＜

1

4

．

点评：本题考查了由等差中项的概念确定数列为等差数列，考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．