Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1），数列{b_n}满足bn=3n•an．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）通过S_n求S_n-1，然后两式相减得出a_n的递推形式，an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，不要忘了验证

a

1

是否满足a_n，从而求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）先求出b_n，由形式判定求和用错位相减法，即先列出S_n，然后列出3S_n，让S_n-3S_n，经过计算，求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=n（n+1），
∴当n=1时，a₁=S₁=1（1+1）=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=2n．
（Ⅱ）∵bn=3n•an=2n•3ⁿ，
∴Sn=2×1×3+2×2×32+2×3×33+…+2×n×3ⁿ，①
3S_n=2×2×3²+2×2×3³+2×3×3⁴+…+2×n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S_n=2×1×3+2×1×3²+2×1×3³+…+2×1×3ⁿ-2×n×3ⁿ⁺¹
=2×

3(1-3n)

1-3

-2n•3ⁿ⁺¹
=3（3ⁿ-1）-2n•3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-3-2n•3ⁿ⁺¹
=（1-2n）•3ⁿ⁺¹-3，
∴Sn=

2n-1

2

•3n+1+

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，计算量较大，但思路清晰，是中档题．