题目内容
已知面积为4
的正三角形的一个顶点与抛物线y2=2px的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个抛物线的方程．
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考点：抛物线的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设正三角形为△OAB，由已知条件提到△OAB的边长为4，高为2
，设A的坐标为（m，2），则B的坐标为（m，-2），令AB与x轴的交点为D，则D的坐标是（m，0），由OD是△OAB的高，求出m的值，从而得到A的坐标，由A在抛物线上，能求出抛物线方程．
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解答：
解：设正三角形为△OAB，S△OAB=4
，
∴△OAB的边长AB=BC=CA=4，高h=2
，
∵抛物线y2=2px是以x轴为对称轴的，
∴A、B是以x轴为对称轴的对称点，
∵AB=4，
∴设A的坐标为（m，2），则B的坐标为（m，-2），O（0，0），
令AB与x轴的交点为D，则D的坐标是（m，0），
∴OD是△OAB的高，
∴OD=h=2
，∴m=2
，
∴A的坐标是（2
，2）
∵A在抛物线上，
∴22=2p×2
，
解得：p=
，
∴所要求的抛物线方程是：y2=
x．
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∴△OAB的边长AB=BC=CA=4，高h=2
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∵抛物线y2=2px是以x轴为对称轴的，
∴A、B是以x轴为对称轴的对称点，
∵AB=4，
∴设A的坐标为（m，2），则B的坐标为（m，-2），O（0，0），
令AB与x轴的交点为D，则D的坐标是（m，0），
∴OD是△OAB的高，
∴OD=h=2
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∴A的坐标是（2
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∵A在抛物线上，
∴22=2p×2
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解得：p=
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∴所要求的抛物线方程是：y2=
2
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点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
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函数y=x2-6x+5在区间（0，5）上是（ ）
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