Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，

3

），且它的离心率e=

1

2

，直线L：y=kx+t与椭圆C₁交于M、N两点，若直线L与圆C₂：（x-1）²+y²=1相切，椭圆上一点P满足

OM

+

ON

=λ

OP

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，

3

），且它的离心率e=

1

2

，结合a²=b²+c²得方程，联立解方程组，求出椭圆的方程，由直线与圆相切可得k，t的关系式①，把直线方程代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理、向量运算可得P点坐标，代入椭圆方程可得一等式②，由①②消掉k，得λ关于t的函数式，借助t的范围即可求得λ的范围．

解答： 解：由题意，

4 a2 + 3 b2 =1 a2-b2 a2 = 1 4

，解得a²=8，b²=6，
所以椭圆的标准方程为：

x2

8

+

y2

6

=1，
因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，
所以，

|t+k|

1+k2

=1，
所以2k=

1-t2

t

（t≠0），
把y=kx+t代入椭圆方程并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=-

8kt

3+4k2

，y₁+y₂=

6t

3+4k2

，
因为

OM

+

ON

=λ

OP

，所以P（-

8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

），
又因为点P在椭圆上，
所以代入椭圆方程，整理可得λ2=

2t2

2+4k2

=

2

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

．
因为t²＞0，所以(

1

t2

)2+

1

t2

+1＞1，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范围为（-

2

，0）∪(0，

2

)．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力，韦达定理、判别式、点到直线的距离公式等是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．