Question

7．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sin3x，-y），$\overrightarrow b$=（m，cos3x-m）（m∈R），且$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow 0$．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[${\frac{π}{18}$，$\frac{π}{3}}$]上图象最低点M的坐标．
（2）在△ABC中，f（A）=-$\sqrt{3}$，且A＞$\frac{4}{9}$π，D为边BC上一点，AC=$\sqrt{3}$DC，BD=2DC，且AD=2$\sqrt{2}$，求线段DC的长．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow 0$．用x表示y可得f（x）的表达式．即可求函数f（x）在[${\frac{π}{18}$，$\frac{π}{3}}$]上图象最低点M的坐标．
（2）根据f（A）=-$\sqrt{3}$，且A＞$\frac{4}{9}$π，求出A，AC=$\sqrt{3}$DC，BD=2DC，且AD=2$\sqrt{2}$，利用余弦定理求出线段DC的长．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sin3x，-y），$\overrightarrow b$=（m，cos3x-m）（m∈R），
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（m+$\sqrt{3}$sin3x，-y+cos3x-m），
∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=$\overrightarrow 0$．
m+$\sqrt{3}$sin3x=0，-y+cos3x-m=0
∴y=cos3x+$\sqrt{3}$sin3x
即y=f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的表达式f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）
∵x在[${\frac{π}{18}$，$\frac{π}{3}}$]上，
∴3x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
当3x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，取得最低点，此时x=$\frac{π}{3}$，y=-1．
∴函数f（x）在[${\frac{π}{18}$，$\frac{π}{3}}$]上图象最低点M的坐标为（$\frac{π}{3}$，-1）．
（2）由f（A）=-$\sqrt{3}$，即2sin（3A+$\frac{π}{6}$）=$-\sqrt{3}$
可得：3A+$\frac{π}{6}$=$\frac{4}{3}π$+2kπ或3A+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z．
∵π＞A＞$\frac{4}{9}$π，
∴A=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
AC=$\sqrt{3}$DC，BD=2DC，
设DC=x，则AC=$\sqrt{3}$x，BD=2x，BC=3x．
可得：AB=$\sqrt{6}x$．
在三角形ADB和三角形ADC中，由余弦定理：可得cos∠BDA=$\frac{4{x}^{2}+8-6{x}^{2}}{8\sqrt{2}x}$
cos∠ADC=$\frac{{x}^{2}+8-3{x}^{2}}{4\sqrt{2}x}$，
∵∠ADC+∠BDA=π．
∴$\frac{4{x}^{2}+8-6{x}^{2}}{8\sqrt{2}x}$=-$\frac{{x}^{2}+8-3{x}^{2}}{4\sqrt{2}x}$，
解得：x=$2\sqrt{3}$．
∴线段DC的长为$2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质以及余弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．