定义在R上的函数f(x).其图象是连续不断的.如果存在非零常数λ.使得对任意的x∈R.都有f为“倍增函数 .λ为“倍增系数．下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)．①函数f(x)=x是倍增函数.且倍增系数λ=1,②函数f(x)=e-x是倍增函数.且倍增系数λ∈(0.1),③若函数f(x)是可导倍增函数.则其导函数f′(x)也是倍增� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”．下列命题正确的是

（写出所有正确命题的编号）．
①函数f（x）=x是倍增函数，且倍增系数λ=1；
②函数f（x）=e^-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
③若函数f（x）是可导倍增函数，则其导函数f′（x）也是倍增函数；
④若函数f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则f（x）也是周期函数；
⑤若函数f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=

kπ

（k∈N^*）．

考点：抽象函数及其应用,函数的连续性

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①根据倍增函数的定义，即可判断；
②由倍增函数的定义，结合指数函数的值域，即可判断；
③由倍增函数的定义，两边求导，即可判断；
④运用倍增函数的定义，再两次将x换成x+1，即可求出周期，可判断；
⑤运用倍增函数的定义，然后分别令x=0，令x=

，结合两角和的余弦公式，即可求出ω，从而判断．

解答： 解：①∵f（x）=x，f（x+λ）=x+λ，λf（x）=λx，∴不存在λ≠0，?x∈R都有f（x+λ）=λf（x），故①错；
②∵函数f（x）=e^-x是倍增函数，∴e^-（x+λ）=λe^-x，∴e^-λ=λ＞0，∴λ=

eλ

∈（0，1），故②正确；
③∵f（x）满足?λ≠0，?x∈R，f（x+λ）=λf（x），∴f′（x+λ）=λf′（x）恒成立，故③正确；
④若函数f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则f（x-1）=-f（x），则f（x）=-f（x+1），
则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）为周期为2的函数，故④正确；
⑤∵f（x）=cos（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，
∴cos[2ω（x+λ）]=λcos（2ωx），令x=0则cos（2ωλ）=λ，
令x=

，则cos[2ω（

+λ）]=λcos（2ω•

），化简得sinωπsin2ωλ=0，
即有ω=k或

kπ

（k∈N^*）∴故⑤不正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查新定义：倍增函数及性质，考查函数的周期性、值域，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．