题目内容
设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点；
（3）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值点；
（3）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）根据曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，建立条件关系即可求a，b的值；
（2）利用函数单调性，极值与导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间与极值点；
（3）根据函数最值的求法即可求出函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．
（2）利用函数单调性，极值与导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间与极值点；
（3）根据函数最值的求法即可求出函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．
解答：
解：（1）∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴f（2）=8，f'（2）=0，
即8-6a+b=8，3×4-3a=0，
解得a=4，b=24．
（2）f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
若a≤0，则f′（x）≥0，此时函数单调递增，无极值．
若a＞0，则由f′（x）＞0得x＞
或x＜-
，此时函数单调递增，递增区间为[
，+∞），（-∞，-
]，
由f′（x）＜0得-
＜x＜
，此时函数递减，递减区间为（-
，
），
即当x=-
，函数取得极大值为f（-
）=-4a
+b，
当x=
，函数取得极小值为f（
）=-2a
+b．
（3）若a≤0，则f′（x）≥0，此时函数单调递增，
此时函数的最大值为f（3）=27-9a+b，最小值为f（-3）=-27+9a+b，
若a＞0，由（2）知，函数在-
＜x＜
，函数递减，
则当
≥3，即a≥9时，函数的最大值为f（-3）=-27+9a+b，
最小值为f（3）=27-9a+b，
若
＜3，即00＜a＜9，函数的最大值为f（-
）=-4a
+b，
函数取得最大值为f（
）=-2a
+b．
∴f（2）=8，f'（2）=0，
即8-6a+b=8，3×4-3a=0，
解得a=4，b=24．
（2）f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
若a≤0，则f′（x）≥0，此时函数单调递增，无极值．
若a＞0，则由f′（x）＞0得x＞
| a |
| a |
| a |
| a |
由f′（x）＜0得-
| a |
| a |
| a |
| a |
即当x=-
| a |
| a |
| a |
当x=
| a |
| a |
| a |
（3）若a≤0，则f′（x）≥0，此时函数单调递增，
此时函数的最大值为f（3）=27-9a+b，最小值为f（-3）=-27+9a+b，
若a＞0，由（2）知，函数在-
| a |
| a |
则当
| a |
最小值为f（3）=27-9a+b，
若
| a |
| a |
| a |
函数取得最大值为f（
| a |
| a |
点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的应用，要求熟练掌握函数的单调性，极值和最值与导数之间的关系．
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