题目内容

已知a＞0，函数f（x）=
|x-a|
x+2a
在区间[0，4]上的最大值为
7
10
，则a的值为
 
．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得函数f（x）=
|x-a|
x+2a
在区间[0，4]上的最大值，利用条件，即可求出a的值．
解答： 解：记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），
当0≤x≤a时，f（x）=
a-x
x+2a
；当x＞a时，f（x）=
x-a
x+2a

∴当0≤x≤a时，f′（x）=
-3a
(x+2a)2
＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，f′（x）=
3a
(x+2a)2
＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=
1
2
，不符合；
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=
a-1
2+a

∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=
4-a
4+2a
；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=
1
2
，
∴
4-a
4+2a
=
7
10
，∴a=
1
2
．
故答案为：
1
2
．
点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．
练习册系列答案
相关题目
第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是
16
21

（Ⅰ）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；
（Ⅱ）设随机变量X为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求X的分布列及期望．
如图，在△ABC中，∠B=
π
2
，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE；
（Ⅱ）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长．
设f（x）=ln（x2+1），g（x）=
1
2
x2-
1
2
．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，并证明对[-1，1]上的任意x1，x2，x3，都有F（x1）+F（x2）＞F（x3）；
（2）将y=f（x）的图象向下平移a（a＞0）个单位，同时将y=g（x）的图象向上平移b（b＞0）个单位，使它们恰有四个交点，求
a+1
b+1
的取值范围．
已知点（
2
，2）在幂函数f（x）的图象上，函数g（x）=2mx+
1
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），若对于任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上是接近的，否则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上是非接近的．
①f1（x）=sinx，f2（x）=x，判断f1（x），f2（x）在区间[-π，π]上是否接近的，若是，请证明，不是，举个反例说明；
②若f（x）和g（x）在区间[1，2]上是接近的，求m的取值范围．
定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”．下列命题正确的是
 
（写出所有正确命题的编号）．
①函数f（x）=x是倍增函数，且倍增系数λ=1；
②函数f（x）=e-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
③若函数f（x）是可导倍增函数，则其导函数f′（x）也是倍增函数；
④若函数f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则f（x）也是周期函数；
⑤若函数f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=
kπ
2
（k∈N*）．
若一次函数f（x）在区间[-1，3]上是减函数，且最小值为0，最大值为2，则f（x）的解析式为
 
．
函数y=x2（-
1
2
≤x≤
1
2
）图象上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
 
．
设（2x+
1
2
）11-（3x+
1
3
）11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则|ak|（0≤k≤11）的最小值为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网