题目内容

已知函数f（x）=
1
x
+alnx（a为参数）．
（1）若a=1，求函数f（x）单调区间；
（2）当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）由f′（x）=
ax-1
x2
，定义域为（0，+∞），得当a=1时，f′（x）=
x-1
x2
，令f′（x）=0得x=1，从而求出f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）f′（x）=
ax-1
x2
，分别讨论①当a≤0时②当x=
1
a
＞0，即a＞0时的情况，从而求出函数的最小值．
解答： 解：（1）f′（x）=
ax-1
x2
，定义域为（0，+∞），
当a=1时，f′（x）=
x-1
x2
，令f′（x）=0得x=1，
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）f′（x）=
ax-1
x2
，
①当a≤0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以f（x）在区间（0，e）上单调递减，
所以f（x）在区间（0，e）上的最小值为f（e）=
1
e
+a，
②当x=
1
a
＞0，即a＞0时，
令f′（x）=0，解得：x=
1
a
，
（ⅰ）若e≤
1
a
，即a≤
1
e
时，则f′（x）≤0对x∈（0，e）成立，
所以f（x）在区间（0，e）上单调递减，
所以f（x）在区间（0，e）上的最小值为f（e）=
1
e
+a，
（ⅱ）若0＜
1
a
＜e，即a＞
1
e
时，f（x）在（0，
1
a
）单调递减，在（
1
a
，e）单调递增，在x=
1
a
处有极小值．
所以f（x）在区间（0，e）上的最小值为f（
1
a
）=a+aln
1
a
，
综上，得f（x）min=
f(e)=
1
e
+a，     (a≤
1
e
)
f(
1
a
)=a+aln
1
a
，(a＞
1
e
)
．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．
练习册系列答案
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1
2
，1）内存在零点．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量
m
=（cosBcosC，sinBsinC-
3
2
），
n
=（-1，1）且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，B=45°，求△ABC的面积．
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1
x
（a∈R）．
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16
21

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（1）数列{an}的通项公式；
（2）数列{|an|}的前n项和Tn．
已知sinα=-
5
5
，tanβ=-
1
3
，且α、β∈（-
π
2
，0）．
（1）求tan2β的值
（2）求tan（α+β）的值．
定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”．下列命题正确的是
 
（写出所有正确命题的编号）．
①函数f（x）=x是倍增函数，且倍增系数λ=1；
②函数f（x）=e-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
③若函数f（x）是可导倍增函数，则其导函数f′（x）也是倍增函数；
④若函数f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则f（x）也是周期函数；
⑤若函数f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函数，则ω=
kπ
2
（k∈N*）．

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