题目内容

已知在△ABC中，
AB
=（x，y），
AC
=（u，v），求证：S△ABC=
1
2
|xv-yu|．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题：平面向量及应用
分析：由于cosA=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
=
xu-yv
x2+y2
u2+v2
，利用S△ABC=
1
2
•|
AB
||
AC
|sinA=
1
2
|
AB
||
AC
|•
1-cos2A
．即可证明．
解答： 证明：∵cosA=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
=
xu+yv
x2+y2
u2+v2
，
S△ABC=
1
2
•|
AB
||
AC
|sinA=
1
2
|
AB
||
AC
|•
1-cos2A
=
1
2
(x2+y2)(u2+v2)-(xu+yv)2
=
1
2
|xv-yu|．
∴S△ABC=
1
2
|xv-yu|．
点评：本题考查了向量夹角公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y2=2x，设点A（a，0）（a＞0），求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应距离|PA|．
|sinx|+|cosx|≥1．
 
（判断对错）
已知函数f（x）=
2
x-1

（1）求证：函数在（1，+∞）上是减函数；
（2）求函数在x∈[3，5]的最大值和最小值．
若S奇是等差数列的奇数项的和，S偶是等差数列的偶数项的和，Sn是等差数列的前n项的和，则有如下性质：
（1）当n为偶数时，则S偶-S奇=
 
（其中d为公差）；
（2）当n为奇数时，则S奇-S偶=
 
，S奇=
 
，S偶=
 
，
S奇
S偶
=
 
；
Sn
S奇-S偶
=
S奇+S偶
S奇-S偶
=
 
（其中a中是等差数列的中间一项）．
12支钢笔中有10支正品和2支次品，从中任取2支，恰好都是正品的概率为
15
22
．
 
（判断对错）
已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，q：不等式4x2+4（m-2）x+1＞0无实根．若p∨q为真命题，￢q为真命题，求实数m的取值范围．
如图，矩形ABCD所在的平面与四边形ABEF所在的平面互相垂直，已知四边形ABEF为等腰梯形，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB∥EF，AB=2，AF=EF=1．
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为
5
10
，求AD的长．
边长为x的正方形的面积S（x）=x2，周长C（x）=4x，若将x看作（0，+∞）上的变量，则有S′（x）=
1
2
C（x）．对于棱长为x的正方体，其体积V（x），表面积S（x），若将x看作（0，+∞）上的变量，请针对体积与表面积写出类似的关系式：
 
．

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