Question

函数f（x）=lnx-

a(x-1)

x

（x＞0，a∈R）．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）的图象存在唯一零点？若存在，试求出a的取值集合，若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)，再讨论导数的正负从而确定函数的单调性；
（2）假设存在，f（x）有唯一极小值f（a）=lna-a+1，也是最小值，令令g（a）=lna-a+1，讨论g（a）的单调性以确定最大值仅有一个，从而得解．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，在（a，+∞）上单调递增．
综上所述，
当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（2）假设存在正实数a满足题意．
由（1）知，f（x）有唯一极小值f（a）=lna-a+1，也是最小值，
当lna-a+1=0时，函数y=f（x）的图象存在唯一零点．
令g（a）=lna-a+1，则g′(a)=

1

a

-1=

1-a

a

，
当0＜a＜1时，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上单调递增；
当a＞1时，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减；
所以当a=1时，g（a）取极大值，也是最大值，g（a）_max=g（1）=0，
故满足lna-a+1=0的a只有唯一值1，
故a的取值集合为{1}．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断，属于中档题．