Question

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，1），且满足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R）
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及函数的零点．
（Ⅱ）已知函数在（t-1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）利用二次函数f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，1），可求c的值；根据函数f（x）满足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），可求a的值，从而可得二次函数的解析式；由f（x）=0，可得函数的零点；
（II）根据函数在（t-1，+∞）上为增函数，且函数图象的对称轴为x=-2，可得t-1≥-2，从而可求实数t的取值范围．

解答： 解：（I）因为二次函数f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，1），所以c=1               
又因为函数f（x）满足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），所以x=-

2

2a

=-2，所以a=

1

2

所以二次函数的解析式为：f（x）=

1

2

x²+2x+1
由f（x）=0，可得函数的零点为：-2+

2

，-2-

2

；
（II）因为函数在（t-1，+∞）上为增函数，且函数图象的对称轴为x=-2，
所以由二次函数的图象可知：t-1≥-2
∴t≥-1．

点评：本题考查二次函数解析式的确定，考查函数的零点，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键．