Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2（S_n+1）=3a_n（n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2n

an

，{bn}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题

分析：（1）当n=1时，得到a₁=s₁=2，当n≥2时，得到2（S_n+1）=3a_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）bn=

2n

an

=n×3^1-n，利用错位相减法求数列的通项．

解答： 解：（1）当n=1时，得到a₁=s₁=2，当n≥2时，得到2（S_n+1）=3a_n①，2（S_n-1+1）=3a_n-1②
①-②得：a_n=3a_n-1，所以数列{a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以a_n=2×3^n-1；
（2）bn=

2n

an

=n×3^1-n，
∴T_n=1×3⁰+2×3^-1+…+n×3^1-n，①
∴

1

3

T_n=1×3^-1+2×3^-2+…+n×3^-n，②
①-②可得：

2

3

T_n=1+3^-1+3^-2+…+3^1-n-n×3^-n，
∴

2

3

T_n=

3

2

+

1

2

×3^1-n-n×3^-n，
∴T_n=

9

4

+

3

4

×3^1-n-

3

2

×n×3^-n．

点评：本题是一道利用数列的递推式归纳出数列的通项公式的规律型的题，考查学生会根据首项和公比求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．