Question

设△ABC的内角A，B，C成等差数列，且满足条件sinAcosC=cos（120°-C）sinC，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：计算题

分析：由三角形ABC中A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用三角形内角和定理求出B的度数，以及A+C的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，整理后利用两角和与差的正弦函数公式求出sin（A-C）=0，由A和C都为三角形的内角，得出A-C的范围，可得出A-C=0，即A=C，进而确定出此三角形三内角相等，为等边三角形．

解答： 解：△ABC为等边三角形，理由为：
证明：∵△ABC的内角A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B，又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°，
∴sinAcosC=cos（120°-C）sinC变形为sinAcosC=cosAsinC，即sin（A-C）=0，
∵-π＜A-C＜π，∴A=C，
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：等差数列的性质，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．