Question

设f（x）是定义在R的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，且当x∈[-2，0]时，f（x）=(

1

2

)x-1．若关于x₀的方程f（x）-log_a（x+2）=0在区间（0，6]内恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，2）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先画出当x∈[-2，0]时，函数f（x）的图象，根据f（x）是定义在R上的偶函数画出当x∈[0，2]时的函数f（x）的图象．
根据对任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，可得出f（x）关于直线x=2对称．画出函数y=log_a（x+2）的图象，关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0在区间（0，6]内恰有两个不同的实数根等价于函数y=f（x）与y=log_a（x+2）=0在区间（0，6]内恰有两个不同的交点，据此即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）①先画出当x∈[-2，0]时，函数f（x）=(

1

2

)x-1的图象．
②∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴当x∈[0，2]时的函数f（x）的图象
与当x∈[-2，0]时，函数f（x）图象关于y轴对称．
③∵对任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称．
根据以上的分析即可画出函数y=f（x）在区间[-2，6]上的图象．
（2）当0＜a＜1时，可知不满足题意，应舍去；
当a＞1时，画出函数y=log_a（x+2）的图象．
若使函数y=f（x）与y=log_a（x+2）=0在区间（0，6]内恰有两个不同的交点（即关于x的方程
f（x）-log_a（x+2）=0在区间（0，6]内恰有两个不同的实数根），则实数a满足，log_a（6+2）＞3，∴a³＜8，∴a＜2，
又1＜a，∴1＜a＜2．
故a的取值范围为1＜a＜2．
故选B．

点评：熟练掌握函数的奇偶性、对称性、单调性及数形结合的思想方法是解题的关键．