Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．那么数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2×{3}^{\frac{n-2}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
∴当n=2k-1时，a_n+2=a_n+2，∴{a_2k-1}是等差数列，首项为1，公差为2，∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，即n为奇数时a_n=n．
当n=2k时，a_n+2=3a_n，∴{a_2k}是等比数列，首项为2，公比为3，∴a_2k=2×3^k-1，即n为偶数时a_n=$2×{3}^{\frac{n-2}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2×{3}^{\frac{n-2}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
故答案为：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2×{3}^{\frac{n-2}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、三角函数求值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．