Question

1．等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，将斜边AC绕直角边AB旋转90°后得到旋转体A-BCD，如图所示，求：
（1）若E是CD的中点，求直线AE与面BCD所成的角；
（2）求异面直线AC和BD所成的角；（3）求旋转体A-BCD的体积V₁和三棱锥A-BCD的体积V₂之比．

Answer 1

分析 （1）连结BE，则∠AEB为直线AE与面BCD所成的角．
（2）由BD⊥BC，BD⊥AB可推出BD⊥平面ABC，故BD⊥AC．
（3）分别求出两个几何体的体积．

解答 解：（1）连结BE，∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，BC?平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥平面BCD，∴∠AEB为直线AE与面BCD所成的角．
∵∠DBC=90°，∴CD=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∴BE=$\frac{1}{2}CD$=$\sqrt{2}$．∴tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\sqrt{2}$．∴∠AEB=arctan$\sqrt{2}$．
（2）∵BD⊥BC，BD⊥AB，BC∩AB=B，BC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴BD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，
∴BD⊥AC．∴异面直线AC和BD所成的角为90°．
（3）V₁=$\frac{1}{3}$S_扇形BCD•AB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×π×{2}^{2}×2$=$\frac{2π}{3}$．V₂=$\frac{1}{3}$S_△BCD•AB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角，体积计算，正确找到线面角解题关键．