Question

14．已知二次函数f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a．
（1）若f（x）只有一个零点，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间$（-1，0）及（0，\frac{1}{2}）$内各有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）只有一个零点，则判别式△=0，解方程即可．
（2）根据一元二次函数根的分布建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）若f（x）只有一个零点，则判别式△=0，
即△=（2a-1）²-4（1-2a）=（2a-1）（2a+3）=0，
则a=$\frac{1}{2}$或a=-$\frac{3}{2}$．
（2）若f（x）在区间$（-1，0）及（0，\frac{1}{2}）$内各有一个零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（0）＜0}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3-4a＞0}\\{1-2a＜0}\\{\frac{3}{4}-a＞0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{3}{4}}\\{a＞\frac{1}{2}}\\{a＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{4}$，
即实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用一元二次函数根与判别式△之间的关系，结合一元二次函数根的分布是解决本题的关键．