曲线C1的参数方程为:$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=5+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$.曲线C2的参数方程为:$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$．(1)求曲线C2的普通� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=5+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．
（1）求曲线C₂的普通方程，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求曲线C₁的极坐标系方程；
（2）若点P为曲线C₂上任意一点，求点P到曲线C₁距离的最小值．

分析（1）由cos²φ+sin²φ=1，能求出曲线C₂的普通方程，先求出曲线C₁的直角坐标方程，由此能求出曲线C₁的极坐标系方程．
（2）设点P（$cosφ\sqrt{3}sinφ$），由此利用点P到曲线C₁距离公式能求出点P到曲线C₁距离的最小值．

解答解：（1）∵曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{4}\\ y=5+tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C₁的直角坐标方程为x-y+4=0，
∴曲线C₁的极坐标系方程为ρcosθ-ρsinθ+4=0．
（2）∵点P为曲线C₂上任意一点，∴设点P（$cosφ\sqrt{3}sinφ$），
∴点P到曲线C₁距离：d=$\frac{|cosφ-\sqrt{3}sinφ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2sin（φ+150°）+4|，
∴点P到曲线C₁距离的最小值为d_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|-2+4|=$\sqrt{2}$．