题目内容
16．曲线C1的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=5+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C2的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．（1）求曲线C2的普通方程，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求曲线C1的极坐标系方程；
（2）若点P为曲线C2上任意一点，求点P到曲线C1距离的最小值．
分析 （1）由cos2φ+sin2φ=1，能求出曲线C2的普通方程，先求出曲线C1的直角坐标方程，由此能求出曲线C1的极坐标系方程．
（2）设点P（$cosφ\sqrt{3}sinφ$），由此利用点P到曲线C1距离公式能求出点P到曲线C1距离的最小值．
解答 解：（1）∵曲线C2的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
∴曲线C2的普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵曲线C1的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{4}\\ y=5+tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C1的直角坐标方程为x-y+4=0，
∴曲线C1的极坐标系方程为ρcosθ-ρsinθ+4=0．
（2）∵点P为曲线C2上任意一点，∴设点P（$cosφ\sqrt{3}sinφ$），
∴点P到曲线C1距离：d=$\frac{|cosφ-\sqrt{3}sinφ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2sin（φ+150°）+4|，
∴点P到曲线C1距离的最小值为dmin=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|-2+4|=$\sqrt{2}$．
点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查点到曲线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
10．在△ABC中，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，且sinA•cosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则此三角形为（ ）
| A． | 等腰三角形 | B． | 直角三角形 | C． | 等腰直角三角形 | D． | 等边三角形 |
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是$\frac{2}{55}$（结果用最简分数表示）